Numerická matematika

1.1. NUMERICKÁ MATEMATIKA

Numerická matematika, ako vedný odbor, sa dlhé roky vyvíjala spolu s ostatnými
matematickými disciplínami, najmä s analýzou a algebrou. Príchod samočinných počítačov však natoľko ovplyvnil metodológiu a techniku výpočtu rôznych matematických problémov, že v súčasnosti predstavuje samostatný vedný odbor.
Zjednodušene povedané, je numerická matematika vedná disciplína, ktorá tvorí a
skúma metódy umožňujúce riešiť matematické úlohy aritmetickými a relačnými operáciami.

Vzhľadom na to, že vo formulácii matematickej úlohy sa často vyskytujú aj také úlohy ako derivácia, integrál je nutné v rámci numerickej matematiky aproximovať ich výrazmi, ktoré umožnia nájsť ich približnú hodnotu. Samozrejme, vyjadrenie chyby takejto aproximácie je pre nás dôležité a budeme ho evidovať . Na základe veľkosti takejto chyby vieme potom stanoviť presnosť resp. nepresnosť vypočítaného výsledku.

Vzhľadom na to, že v súčasnosti sa počítač stáva najpoužívanejším výpočtovým
prostriedkom, väčšina štandardných matematických úloh je už prepísaná do algoritmickej podoby
a vo forme programu sú sú časťou matematického programového vybavenia počítačov

Z uvedeného vidno, že ciele numerickej matematiky sú:

a) prevod matematickej úlohy na úlohu numerickú
b) tvorba metód a algoritmov na riešenie numerických úloh
Pod algoritmom ( nejakej numerickej metódy ) rozumieme konečnú postupnosť aritmetických a logických operácií, ktoré daným vstupným údajom priradia výstupné údaje.

Vstupnými údajmi rozumieme konečnú množinu čísel, ktorá je nutná na
jednoznačnú formuláciu a riešenie danej úlohy.
Výstupnými údajmi algoritmu je konečná množina čísel, ktorá predstavuje riešenie danej úlohy.

Napríklad, pri algoritmickom riešení kvadratickej rovnice vstupom je trojica koeficientov {a, b, c} a výstupom sú vo všeobecnosti dve riešenia v tvare usporiadanej dvojice ()(){}2 2 1 1 , , , y x y x , ktoré
predstavujú komplexné č ísla {) ( ), ( 2 2 1 1 iy x iy x }++, i = 1,2. Ak používate ľ z nejakého dôvodu potrebuje poznať aj hodnotu diskriminantu je samozrejme možné zaradi ť aj túto hodnotu medzi výstupy algoritmu.

Algoritmus preložený do strojového kódu po č íta č a nazývame programom. Tento preklad sa vykonáva pomocou preklada č a (kompilátora) toho z programovacích jazykov, v ktorom je tento program napísaný, napr. PASCAL, BASIC, FORTRAN, C, C++ a pod.

Aj ke ď je po č íta č je pri riešení numerických úloh ve ľ kým pomocníkom, je dôležité si uvedomi ť , že numerické výpo č ty sú za ť ažené rôznymi chybami, ktorých klasifikáciu si teraz uvedieme.


1.2 ZDROJE CHÝB
Pri riešení problémov z reálnej praxe sa vždy dopúš ť ame ur č itých chýb, ktoré sú
dôsledkom:

1. nepresností, resp. zjednodušení, ktorých sa dopúšťame (neraz i úmyselne) pri tvorbe matematickej formulácie problému,
2. použitia numerických metód na riešenie tohto problému.
Na základe toho, č o je prí č inou vzniknutej chyby, rozlišujeme nasledujúce typy chýb.

1. Chyby matematického modelu. Ak chceme rieši ť nejaký problém v praxi, musíme ho
najprv istým spôsobom previesť na matematický problém. Pri vytváraní matematického modelu rôznych procesov (fyzikálnych, mechanických, chemických a pod.) sme často nútení zanedbať rôzne vplyvy, ktoré podľa nášho úsudku majú nepodstatný význam, alebo napomáhajú k zjednodušeniu formulácie matematického modelu. Tak vzniká rozdiel medzi reálnym problémom a jeho idealizovanou matematickou formuláciou.

Matematický model problému je takmer vždy iba aproximáciou (priblížením) reálneho, avšak ak je aproximácia veľmi nepresná, na získanie riešenia zodpovedajúceho reálnemu stavu nám nepomôžu ani najpresnejšie numerické metódy.
2. Chyby numerickej metódy. Pri riešení matematického problému numerickými metódami
je potrebné niektoré tradičné matematické pojmy a postupy nahradi ť ich aproximáciou.

Napríklad, deriváciu a určitý integrál funkcie nahradzujeme výrazom, ktorý pozostáva z konečného počtu funkčných hodnôt. Riešenie rovnice f(x) = 0, nahradzujeme konečným procesom, ktorý vo všeobecnosti nájde presné riešenie len ak ho budeme opakovať nekonečne veľa krát (nekonečný limitný proces). Taktiež mnohé elementárne funkcie ( goniometrické, logaritmické a pod. ) sú v počítač i reprezentované konečným počtom členov Taylorovho radu.

Stáva sa pravidlom, že neoddeliteľnou súčasťou dobrej numerickej metódy je poznanie jej chyby, resp. odhadu tejto chyby. Výber vhodnej numerickej metódy je potom často založený na veľkosti jej chyby. Aj keď treba poznamenať , že získanie korektného odhadu chyby numerickej metódy je niekedy proces veľmi náročný a na jeho získanie je nutné použiť nielen prostriedky numerickej matematiky, ale i ostatných matematických disciplín.

3. Chyby vstupných údajov. Vä č šina vstupných údajov nutných k výpočtu matematického problému modelujúceho reálne procesy je získaných meraním. Ich hodnota závisí najmä od presnosti meracieho prístroja, ale môže byt' ovplyvnená aj inými, napr. náhodnými chybami.Naviac, niektoré zo vstupných údajov ako číslo π , e, 1/3, a aj ostatné reálne čísla majúce nekonečný desatinný rozvoj, do počítača zadávame o s konečným počtom desatinných miest, č ím taktiež prispievame ku chybe vstupného údaju.

4. Chyby zaokrúhľovania. Tento typ chyby je spôsobený tým, že pri práci s reálnymi číslami používame ich aproximáciu pomocou racionálnych čísel. Aj v tom prípade, keď vstupné údaje sú celé čísla, ak v procese výpočtu dochádza k ich deleniu, odmocňovaniu a pod., výsledkom je vo všeobecnosti reálne č íslo, ktoré je (v kalkula č ke, v po č íta č i) reprezentované len kone č ným po č tom desatinných miest, čím opäť dochádza k zaokrúhľovaniu.

Taktiež násobenie dvoch presných čísel s konečným počtom desatinných miest poskytuje výsledok s takým počtom desatinných miest, ktoré vďalšom výpočtenie je možné všetky použiť . Je teda jasné, že chybám zaokrúhľovania sa nedá vyhnúť .