Metódy dôkazov v matematike

Matematická veta- výrok o matematickom objekte
- keď a je starna štvorca, tak a2 je jeho obsah.
Predpoklad záver
-každá veta musí mať dôkaz
Idukcia- od konkrétneho k všoebecnému
Dedukcia- od všeobecného ku konkrétnemu
Axióma- elementárne tvrdenie, kt. považujeme za pravdivé bez dôkazu

Druhy dôkazov- priamy
- nepriamy
-sporom
-matematickou indukciou
matemat. vety budeme dokazovať pomocou- negácie- opačná pravdivostná hodnota
-obmeny- vždy rovnaká pravdivostná hodnota
-obrátenej- nemusí mať vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu
pr.- ak mam zvýšenú teplotu liečim sa
obmena- ak sa neliečim, nemám zvýšenú teplotu
negácia- ak nemám zvýšenú teplotu, neliečim sa

Priamy dôkaz- pozostáva z konečného reťazca implikácií-
                                      T1=> T2=>...=> Tn => T 
-prvý člen je už dokázané tvrdenie, každé ďalšie je logickým dôsledkom predchádzajúcich, posledný    člen je dokazované tvrdenie.

-dokážme že súčet každých troch za sebou idúcich čisel je delitelný 3
n, n+1, n+2
n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1) platí
Nepriamy dôkaz- pri nepriamom dôkaze dokazujeme obmenu vety
"nÎN:2 delí n2 Þ 2 delí n
obmena- "nÎN: 2 nedelí n Þ 2 nedelí n2
n=2k+1- je nedelit. Dvoma
n2=(2k+1)2= 4k2+4k+1 – nie je delit. 2
Dôkaz sporom- znegujeme mat. vetu a dokazujeme priamo
Záver je v spore buď s podmienk. Alebo s mat tvrdeniamy
Teda ak dokážeme že V’neplatí Þ V platí

Dôkaz mat. indukciou- úplná- zovšeobecnenie na základe vš. konkrétnych pr.
-neúplná- -||- na zákl. Niekoľkých konrét. pr.
- nepovažuje sa za mat. dôkaz, väčšinou slúži na vyslovenie hypotéz
- mat. tvrdenie- V(n)
dokážeme pre n=1
V(1)
Predpokladáme pre V(k) – indukčný predpoklad IP, kt. vyvolá(indukuje) platnosť tvrdenia
pre n=k+1 V(k+1)