Hudobná akustika - ladenie

Hudobná akustika - ladenie
Pythagora nezaujímali len trojuholníky
Hudba a matematika
Ked sa raz Pythagoras prechádzal po trhu, kde trhovníci ponúkali na predaj okrem
iného zvonceky, všimol si, že cím je zvoncek väcší, tým nižší zvuk vydáva. Podobnú vec
si všimol idúc okolo kovácskej dielne. Menšia nákova vydávala pri úderoch kladiva
vyššie tóny a väcšia nákova zas nižšie tóny. V hlave starovekého matematika a fyzika
sa zacali crtat prvé myšlienky – vztah medzi hudbou a matematikou. Nelenil ani chvílu.
Požical si od kováca dve nákovy, u ktorých si všimol, že ich tóny sú od seba vzdialené o
jednu oktávu. Odvážil ich a zistil, že pomer ich hmotností je 2:1. Od iného kováca si
požical nákovy, u ktorých boli tóny od seba vzdialené o kvintu. Tu bol pomer hmotností
3:2. Pythagoras si uvedomil, že ak sa pomer hmotností, dlžok alebo hrúbok dvoch
predmetov dá vyjadrit malými celými císlami, tóny, ktoré pocujeme, tvoria najkrajšie
cisté intervaly : oktávy, kvinty a kvarty. Frekvencia kmitania dvojnásobne tažšieho
telesa je dvojnásobne nižšia a takéto teleso vydáva o oktávu nižší zvuk. Podobne je to
aj s dlžkou struny. Dvojnásobne dlhšia struna kmitá dvakrát pomalšie a jej tón znie o
oktávu nižšie.
Jednotlivé tóny sa teda dajú vyjadrit pomerom ich frekvencií. Zhrnme si tieto pomery
do tabulky :
Interval pomer rel. frekvencia
oktáva 2:1 2
kvinta 3:2 1,5
kvarta 4:3 1,33
tercia 5:4 1,25
malá tercia 6:5 1,2
Ak napríklad základný tón má frekvenciu 100 Hz (100 kmitov struny za sekundu),
kvinta od tohto tónu bude mat frekvenciu 150 Hz (císlo 100 zväcšíme pomerom 3:2),
kvarta bude mat frekvenciu 133 Hz (4:3) a tercia 125 Hz (5:4).
Pythagorejské ladenie
Ladenie, kde sú dodržané tieto pomery, sa nazýva cisté alebo Pythagorejské.
Pythagoras si zároven všimol, že ked zahrá 7 oktáv, frekvencia najvyššieho – siedmeho
tónu bude velmi blízka tónu, ktorý dostane, ked zahrá 12 kvínt. Je to nieco ako
spolocný násobok kvínt a oktáv. Pomer frekvencií medzi primou a siedmou oktávou
bude 2na7 : 1, teda 128 : 1. Pomer frekvencií medzi primou a dvanástou kvintou je
1,5na12 : 1, teda 129,746 : 1. Pomery sú také blízke, že bežný clovek by si rozdiel v
tónoch ani nevšimol. Podiel císel 129,746 a 128,0 je 1,013643 a nazýva sa
Pythagorejská koma. Je to rozdiel medzi relatívnou frekvenciou dvanástej kvinty a
siedmej oktávy.
Keby sme relatívnu frekvenciu každej kvinty trošticku znížili, relatívna frekvencia
dvanástej kvinty by sa presne zhodovala s rel. frekvenciou siedmej oktávy, teda pomer
medzi primou a dvanástou takto upravenou kvintou by bol tiež 128 : 1. Vtedy by sa aj
každá oktáva dala rozdelit na 12 rovnakých dielov – poltónov a pomer medzi hocakými
susednými poltónmi by bol rovnaký. Skúsme teda vykonat túto zmenu. Kedže poltónov
je 12 a pomer medzi prvým a posledným poltónom (medzi primou a oktávou) má byt 2
: 1, pomer medzi susednými poltónmi je také K, že K.K.K .. K = Kna12 = 2. Z toho
vypocítame, že K je 12. odmocnina z 2, teda 1,059463. Je to zároven pomer frekvencií
medzi primou a zníženou sekundou. Tento pomer 1,06 je navyše dost velký na to, aby
sme dva poltóny od seba bez problémov sluchovo odlíšili.
Temperované ladenie
Ladenie, kde pomer medzi poltónmi je rovnaký, sa nazýva temperované rovnomerné
ladenie. Pri temperovanom ladení napríklad relatívna frekvencia kvinty, ktorá je
vzdialená 7 poltónov od primy, je Kna7 = 1,4983. Vidíme, že oproti cistému ladeniu je
táto frekvenia trošku nižšia ako 1,5. Ak sú ale naladené temperovaným ladením všetky
nástroje hrajúce súcasne v orchestri, rozdiel vo frekvencii tónov sa neprejaví a skladba
znie cisto.
Hra na nástroji s temperovaným ladením nedosahuje lahodnost cistého ladenia, pretože
tu nie sú úplne presne dodržané Pythagorom objavené pomery, napr. 3:2 pri kvinte.
Výhodou je, že oktáva je rovnomerne rozdelená na 12 poltónov, co má ovela väcšie
praktické využitie. Rovnomernost je výhodná aj pri umelej syntéze tónov napríklad v
elektronických syntetizátoroch a klavíroch, kde jednotlivé tóny generuje laditelný
oscilacný obvod.
Tabulka relatívnych frekvencií pri cistom a temperovanom ladení
interval pomer relat. frek. relat. frek.
cisté temperované
oktáva 2:1 2.0000 2.0000
kvinta 3:2 1.5000 1.4983
kvarta 4:3 1.3333 1.3348
tercia 5:4 1.2500 1.2599
tercia m. 6:5 1.2000 1.1892
sekunda 9:8 1.1250 1.1225
sekunda m. 16:15 1.0667 1.0595
prima 1:1 1.0000 1.0000
7 oktáv (2:1)na7 128.0000 128.0000
12 kvínt (3:2)na12 129.7463 128.0000
Pythagorejská koma (3:2)12 / 27 1.013643
Mimochodom, ked už poznáme koeficient K=1,059463 ako pomer frekvencií dvoch
poltónov a porovnáme ho s Pythagorejskou komou, ktorá má hodnotu 1,013643 ,
vidíme, že Pythagorejská koma je o dost menšia ako K, teda na dvanástich kvintách v
cistom ladení by vznikla odchýlka od siedmych oktáv ovela menšia ako jeden poltón.
Preto temperované ladenie príliš velkú chybu nespôsobí.
Stupnice
Rad 12 poltónov tvorí spektrum oktávy a ak ich zahráme, dostaneme chromatickú
stupnicu. V bežnej hudobnej praxi sa v stupniciach nepoužíva všetkých 12 tónov, ale
menej, obycajne 8. Podla toho, ktoré tóny do stupnice vyberieme, dostávame rôzne
tónotvary a tóniny. Diatonický výber zo spektra oktávy tvorí 8 tónov, z nich je 6 celých
a 2 poltóny (napr. v durovej stupnici sú poltóny medzi 3. a 4. tónom a medzi 7. a 8.
tónom). Diatonický výber predstavujú na klavíri biele klávesy.
Spôsob výberu tónov do tóniny urcuje istý charakter skladby, jej tvrdost ci mäkkost.
„Svojskými“ tóninami sa vyznacujú aj urcité národy alebo kraje v rámci jedného štátu.
Okrem zaužívaných tónin ako durová, molová, lydická, myxolidická, melodická, dórska,
frygická a dalších si môže skladatel zostavit aj vlastnú. Jednoducho vyberie urcitých
sedem tónov, ktoré sa budú v skladbe casto používat a tie mu vytvoria novú umelú
tóninu. Je možné, že tóny tejto novej tóniny dodajú skladbe zvláštny, neopakovatelný
ráz. Vo velkej väcšine prípadov si však skladatelia vystacia so známymi tóninami.
Väcšina tónin sa skladá z tónov, ktoré majú poltónové alebo celotónové vzdialenosti.
Niektoré tóniny však majú medzi tónmi aj trojpoltónové vzdialenosti. Takáto
vzdialenost na nazýva hiát a dodáva tónine zvláštnu „farbu“. Hiáty nájdeme napríklad v
tónine harmonickej, moldurovej a cigánskej.
Zaujímavostou je, že existujú aj štvrttónové nástroje, napríklad štvrttónový klavír.
Tam je vzdialenost medzi tónmi štvrt tóna a oktáva má 24 tónov. Pomer frekvencií
medzi susednými tónmi je 24. odmocnina z 2 =1,0293.
Výpocet dlžky pražcov na gitare
Matematické vztahy a konštanty odvodené v predchádzajúcich kapitolách nám okrem
iného môžu poslúžit na to, aby sme vypocítali velkosti pražcov na gitare. Ak bude dlžka
pražcov v súlade s teóriou, gitara bude dobre ladit.
Ak má volná struna dlžku L a frekvenciu kmitania f, struna stlacená presne v polovici
bude mat dlžku volnej casti (tej, ktorá kmitá) L/2, frekvencia kmitania bude 2f a podla
zistení Pythagora bude vydávaný tón o oktávu vyšší. Ak strunu stlacíme vo vzdialenosti
x od horného konca, kmitat bude len volná cast struny s dlžkou L-x. Struna sa skráti
L/(L-x) krát a frekvencia kmitania bude f. L/(L-x) Hz.
Pri stlacení n-tého pražca chceme, aby sa tón zvýšil o n poltónov, teda aby pri
temperovanom ladení bola frekvencia (K na n)- krát vyššia, co je f .(K na n).
f .(K na n) L
Z rovnice --------------- = ------------ (1)
f L – x
(K na n) - 1
dostaneme x = L. ----------------- (2)
(K na n)
Pre prvý poltón je n = 1, co dosadíme do vzorca (2). Potom x = L. 0,0561 , co je
velkost prvého pražca. Keby mala volná struna dlžku 50 cm, velkost prvého pražca by
bola 50. 0,0561 = 2.81 cm.
Pre druhý poltón je n = 2 a po dosadení do vzorca (2) bude x = L. 0,1091 , co je
velkost prvých dvoch pražcov. Velkost prvého pražca už poznáme, takže velkost
samotného druhého pražca je L. 0,1091 - L. 0,0561 = L. 0.053. Pre 50 cm strunu je to
2.65 cm. Takto postupne môžeme vypocítat velkost všetkých pražcov gitary pri
temperovanom ladení.