Číselné obory

Obor je ľubovolná množina M, v ktorej sa definuje sčítanie a násobenie. To znamená, že ku každému prvku a1M a ku každému prvku b1M existuje práve jeden prvok a + b1M, a práve jeden prvok a . b2M.


Obor prirodzených čísel



N- množina prirodzených čísel N={1,2,3,4,5...}pomocou ktorej vyjadrujeme počet prvkov. V množine N zavedieme operáciu sčítania a násobenia. " a, b, cÎN platí:
a + b Î N; a . b Î N - veta o uzavretosti sčítania a násobenia vzhľadom na N
1 . a = a . 1= a - veta o neutrálnosti čísla 1 vzhľadom na násobenie
a + b = b + a; a . b = b . a - veta o komutatívnosti sčítania a násobenia
a + (b + c) = (a + b) +c - veta o asociatívnosti sčítania
a . (b . c) = (a . b) . c - veta o asociatívnosti násobenia
a . (b + c) =a . b + a . c - vete o distributívnosti násobenia vzhľadom na sčítanie




Rozdiel a - b dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo x, pre ktoré platí a = b + x. Množina N nie je uzavretá vzhľadom na operáciu rozdielu. Podiel a : b dvoch prirodzených čísel je prirodzené číslo x, pre ktorá platí a = b . x. Podiel nie je uzavretý v množine N. Mocnina a b prirodzených čísel je prirodzené číslo, ktoré je súčinom b - činiteľov rovnajúcich sa číslu a. Číslo b nazývame deliteľom čísla a, ak existuje také prirodzené číslo k, že platí a = k . b. Hovoríme tiež, že číslo a je k- násobkom čísla b.




Ak číslo b je deliteľom čísla a , hovoríme, že číslo a je deliteľné číslom b alebo číslo b delí číslo a. Zapisujeme b/a. Ak číslo a nie je násobkom čísla b, existuje jediná dvojice takých čísel p a q, že platí a = b . p + q, kde p je prirodzené číslo alebo nula a q je prirodzené číslo menšie ako b. Číslo p sa aj nazýva neúplný podiel, číslo q sa nazýva zvyšok. Prirodzené čísla a , b sú súdeliteľné, ak majú spoločného deliteľa väčšieho ako 1. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 má aspoň dva delitele: číslo 1 a samo seba. a, b, c Î (b / a Ù c / b) Þ c / a. a, b, c Î (d / a Ù a / b) Þ d / (a + b)




Kritérium delitelnosti: a, b, c Î N; b, c sú nesúdelitelmé čísle: (b / a Ù c / a ) Þ b . c / a. Prirodzené čísle väčšie ako 1, ktoré majú práve dva rôzne delitele, číslo 1 a samé seba, nazývame prvočísla. (1 nie je prvočíslo, lebo má iba jedného delitela). Prirodzené čísla, ktoré majú aspoň tri rôzne delitele nazývame zložené čísla. Na zistenie, či číslo je zložené číslo, nám slúži veta: Každé zložené číslo n je delitelné aspoň jedným prvočíslom p, pre ktoré platí: p£Ön Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 môžeme rozložiť na súčin prvočísiel.




Základná veta aritmetiky: " n Î N Ù n >1: n= p1r1 . p2r2 ... par n ; p1, p2 ... p n sú prvočísla a r1, r2, ... r n sú prirodzené čísla.




Spoločným deliteľom dvoch, alebo viacerých prirodzených čísel nazývame číslo, ktoré je deliteľom každého z daných čísel. Najväčší so všetkých spoločných deliteľov niekoľkých prirodzených čísel sa nazýva ich najväčší spoločný deliteľ. Pre dve čísle a, b ho označujeme D(a, b). Vypočítame ho tak, že dané čísla rozložíme na súčin prvočísiel a z týchto rozkladov vyberieme tie prvočísla, ktoré sa súčasne nachádzajú vo všetkých rozkladoch.




Spoločným násobkom dvoch alebo viacerých prirodzených čísel nazývame číslo, ktoré je násobkom každého z daných čísel. Najmenší so všetkých spoločných násobkov sa nazýva najmenší spoločný násobok. Pre dve čísla ho označujeme n (a, b). Najmenší spoločný násobok niekoľkých prirodzených čísel vypočítame tak, že dané čísla rozložíme na súčin prvočísiel a vyberieme všetky prvočísla, ktoré sa vyskytujú aspoň v jednom rozklade. Ich súčin je najmenší spoločný násobok.




Obor celých čísel



Z- množina celých čísel, ktoré okrem prirodzených čísel obsahuje nulu a záporné celé čísla Z={...-2,-1,0,1,2,....}. V obore platia všetky vety uvedené v obore N. Okrem toho platí: " a, b Î Z: a – b Î Z – operácia rozdielu je uzavretá vzhľadom na množinu Z. A +