Distribučná funkcia celkového poistného plnenia

6. Distribučná funkcia celkového poistného plnenia
Rekurentný vyťah v prípade diskrétnej premennej indiviuálnych poistných plnení. Panjerov rekurentný vzorec.

REKURENTNÝ VZŤAH NA VÝPOČET
Predpokladajme, že poznáme rozdelenie počtu poistných plnení N, aj rozdelenie výšky individuálnych poistných plnení Xi, . Budeme predpokladať, že spoločné rozdelenie individuálnych plnení je diskrétne rozdelenie, definované pre kladné čísla.
Budeme používať nasledujúce označenie:
pre - spoločná pravdepodobnostná funkcia individuálnych poistných plnení Xi,
pre - pravdepodobnostná funkcia celkového poistného plnenia S.
Problém výpočtu , vzhľadom na uvedené predpoklady spočíva vo výpočte pre , pretože

Pre diskrétne náhodné premenné Xi môžeme vzťah využiť na vyjadrenie pre , pretože

Ak označíme , čo je pravdepodobnostná funkcia súčtu , čiže n-násobná konvolúcia pravdepodobnostných funkcií výšky poistných plnení X, potom platí
pre
Rovnako ako v prípade, keď Xi je spojitá náhodná premenná, platí

Pretože Xi sú diskrétne náhodné premenné s hodnotami , teda pre a , v prípade, že zrejme platí , teda počet poistných plnení N nemôže byť vyšší ako k. Z toho vyplýva, že horná hranica sumy nie je , ale x pre ľubovoľné kladné celé číslo x. Teda platí
pre

Vyčíslime si niekoľko pravdepodobností podľa pradchádzajúceho vzťahu:
Ak , tak , , kde
,

Ak , tak , , pričom

,

Ak , tak , , pričom

,


Postup výpočtu a určenia pravdepodobnostnej funkcie celkového poistného plnenia a následne distribučnej funkcie celkového poistného plnenia náhodnej premennej S podľa prechádzajúcich vzťahov je veľmi zdĺhavý a pracný pre veľké hodnoty aj pri využití počítača.

PANJEROV REKURENTNÝ VZOREC NA VÝPOČET
Efektívnejším spôsobom vyčíslenia je rekurentný vzorec, ktorý odvodil Panjer (1981) a ktorý môžeme použiť vtedy, ak je splnená nasledujúca podmienka, týkajúca sa rozdelenia počtu poistných plnení N.
Označíme
,
predpokladajme, že existujú konštanty také, že platí

Potom ak sú individuálne poistné plnenia Xi diskrétne s hodnotami , teda , tak pravdepodobnostnú funkciu celkového poistného plnenia môžeme vyčísliť podľa Panjerovho rekurentného vzorca takto:

pričom

Ďalej nájdeme vyjadrenie pre konštanty a, b pre rozdelenia počtu poistných plnení N a to Poissonovo, binomické a negatívne binomické rozdelenie.
Poissonovo rozdelenie
Nech N~Po(λ)
, ,
potom , kde po úprave ,
odkiaľ dostávame, že pre koeficienty a, b platí

Binomické rozdelenie
Nech N~Bi(n;)
,
,
potom , po úprave
.
Pretože odkiaľ dostávame, že pre koeficienty a, b platí

Negatívne binomické rozdelenie
Nech N~NB(k;)
,
,
potom , po úprave
.
Pretože , odkiaľ dostávame, že pre koeficienty a, b platí