1. Rozdelenie pravdepodobností počtu poistných plnení

1. Rozdelenie pravdepodobností počtu poistných plnení
Bernouliho, binomické, Poissonovo, negatívne binomické, geometrické rozdelenie. Ich základné charakteristiky, bodové a intervalové odhady.

Ide o rozdelenia, ktoré modelujú náhodnú premennú N, ktorá popisuje počet poistných plnení, ktoré nastanú pri jednej poistnej zmluve zvyčajne za dobu jedného roka.

BERNOULIHO (ALTERNATÍVNE) ROZDELENIE – A()
Toto rozdelenie popisuje tzv. Bernouliho pokus, ktorý môže mať len dva možné výsledky – náhodná udalosť A nastane s pravdepodobnosťou , alebo nenastane s pravdepodobnosťou .
Pravdepodobnostná funkcia má tvar:
pre
Základné charakteristiky rozdelenia:



BINOMICKÉ ROZDELENIE – Bi(n;)
Ide o dvojparametrické rozdelenie, kde n je prirodzené číslo a predstavuje počet nazávislých opakovaných pokusov, kde pravdepodobnosť nastatia sledovaného javu v každom pokuse je vždy konštantná, rovnajúca sa &#61552;. Nie je závislá od výsledkov predchádzajúceho pokusu, každý jav nastane s pravdepodobnosťou &#61552; a nenastane s pravdepodobnosťou , 0< &#61552;<1.
Pravdepodobnostná funkcia má tvar:
pre
Základné charakteristiky rozdelenia:


Koeficient šikmosti
Koeficient špicatosti
Maximálne vierohodný odhad parametra &#61552; binomického rozdelenia


Bernouliho (alternatívne) rozdelenie A(&#61552;) je špeciálnym prípadom binomického rozdelenia Bi(n; &#61552;) pre . Ak každá z n nezávislých náhodných premenných N1 , N2 ,..., Nn sa riadi alternatívnym rozdelením s konštantnou pravdepodobnosťou nastatia javu A, tak ich súčet má rozdelenie Bi(n; &#61552;).

POISSONOVO ROZDELENIE – Po(&#955;)
Poissonovo rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti výskytu zriedkavých javov v sérii veľkého počtu n nezávislých pokusov. Vzniká ako limitný prípad binomického rozdelenia Bi(n;p), ak súčasne a , pričom stredná hodnota np sa rovná konštantnej hodnote &#955;, .
Pravdepodobnostá funkcia má tvar:
pre
Základné charakteristiky rozdelenia:


Koeficient šikmosti
Koeficient špicatosti
Maximálne vierohodný odhad parametra &#955; Poissonovho rozdelenia



NEGATÍVNE BINOMICKÉ ROZDELENIE – NB(k; &#61552;)
Ide o dvojparametrické rozdelenie s parametrami k>0 a 0<&#61552;<1. Náhodná premenná N vyjadruje počet náhodných pokusov, pri ktorých nastala udalosť A práve k-krát, kde k je kladné celé číslo, pričom pravdepodobnosť nastatia udalosti je &#61552; a pravdepodobnosť nenastatia udalosti je . Toto rozdelenie sa podobá binomickému rozdeleniu, len s tým rozdielom, že počet pokusov, pri ktorých nastala udalosť A je pevný a počet celkových pokusov je náhodná premenná.
Pravdepodobnostná funkcia tohto rozdelenia má tvar:
pre
Základné charakteristiky rozdelenia:


Maximálne vierohodný odhad parametra &#61552; negatívne binomického rozdelenia


GEOMETRICKÉ ROZDELENIE – Ge(&#61552;)
Opakujeme postupnosť nezávislých Bernouliho pokusov. Pri každom z nich je konštantná pravdepodobnosť nastatia sledovaného náhodného javu &#61552;. Náhodnú premennú N definujeme ako počet náhdoných pokusov, kým nenastala udalosť A. Ak N=k, znamená to, že pri prvých k-1 pokusoch udalosť A nenastala a nastale práve pri k-tom pokuse.
Pravdepodobnostná funkcia tohto rozdelenia má tvar:
pre
Základné charakteristiky rozdelenia:


Maximálne vierohodný odhad parametra &#61552; geometrického rozdelenia

Geometrické rozdelenie dostaneme aj ako špeciálny prípad negatívne binomického rozdelenia pre k=1. Je to teda negatívne binomické rozdelenie NB(1; &#61552;).