3. Modelovanie rozdelení počtu a výšky poistných plnen

/p>

3. Modelovanie rozdelení počtu a výšky poistných plnení

Odhady parametrov rozdelení. Testy dobrej zhody.

ODHADY PARAMETROV ROZDELENÍ

Pretože neznáme parametre určujeme na základe neúplných informatika/zaznamenavanie-informacii/" class="wiki-link" title="Viac o: informácií">informácií o konkrétnych poistných prípadoch, táto úloha patrí do okruhu problémov odhadu parametrov rozdelení pomocou výberových údajov. Do úvahy prichádzajú tri rôzne prístupy odhadu parametrov modelu: • Metóda maximálnej vierohodnosti • Momentová metóda • Kvantilová metóda Najpoužívanejšou je najmä metóda maximálnej vierohodnosti, ktorú možno aplikovať vo veľmi rozmanitých situáciách a odhady, získané použitím tejto metódy, majú veľmi dobré vlastnosti v porovnaní so zvyšnými dvoma.

METÓDA MAXIMÁLNEJ VIEROHODNOSTI

Nech je vektor n nezávislých výberových pozorovaní zo základného súboru s rozdelením , pričom je vektor p neznámych parametrov. Definujme funkciu maximálnej vierohodnosti vzťahom

a jej prirodzený logaritmus , potom maximálne vierohodný odhad je taký vektor , ktorý maximalizuje , resp. .

Maximálne vierohodný odhad má tieto výhodné vlastnosti:

• má asymptoticky normálne rozdelenie, • je asymptoticky neskreslený, • je asymptoticky výdatný, • je konzistentý, • je invariantný, teda ak je maximálne vierohodný odhad , potom je maximálne vierohodný odhad ľubovoľnej funkcie .

MOMENTOVÁ METÓDA

Pri tejto metóde jednoducho nahradíme charakteristiky základného súboru zodpovedajúcimi výberovými charakteristikami.

KVANTILOVÁ METÓDA

Princíp spočíva v nahradení kvantilov, presnejšie percentilov ekonomika/zlozene-rozdelenia/" class="wiki-link" title="Viac o: rozdelenia">rozdelenia s distribučnou funkciou s neznámym vektorom parametrov , kvantilmi , určenými v empirickom výberovom súbore. Dostávame tak systém rovníc pre Ak odhadujeme p neznámych parametrov, potrebujeme určiť p kvantilov výberového súboru a riešiť systém p rovníc. Pri odhade jedného neznámeho parametra využívame obyčajne medián Me, pri dvoch neznámych parametroch dolný a horný kvartil a a podobne.

TESTY DOBREJ ZHODY

Na overenie vhodnosti vybraného rozdelenia s odhadnutými parametrami na základe výberových údajov môžme použiť: • Pearsonov χ2 – test dobrej zhody • Kolmogorovov-Smirnovov neparametrický test Prvý z nich vyžaduje dostatočne veľký rozsah výberového súboru. Ak je možné použiť obidva testy, potom Kolmogorovov-Smirnovov test má vyššiu silu.

PEARSONOV χ2 – TEST DOBREJ ZHODY Tento test slúži na overenie zhody empirického rozdelenia, t. j. rozdelenia početností výberových údajov, s predpokladaným teoretickým rozdelením pravdepodobnosti s hustotou pravdepodobnosti . predstavuje vektor parametrov, najčastejšie odhadnutých z výberového súboru. Musíme na hladine významnosti α rozhodnúť, či prijmeme, resp. zamietneme

tzv. nulovú hypotézu:

H0: náhodná premenná X má rozdelenie s hustotou Východiskom pre test sú empirické údaje náhodnej premennej X, zistené vo výberovom súbore a roztriedené do k skupín s početnosťami . Pre test sa využíva testovacia anglictina/charakteristika/" class="wiki-link" title="Viac o: charakteristika">charakteristika χ2 určená vzťahom , ktorá má χ2-rozdelenie s počtom stupňov voľnosti , pričom p – je počet odhadnutých parametrov prepokladaného teoretického rozdelenia , Oi – sú empirické, skutočne zistené početnosti hodnôt xi diskrétnej náhodnej premennej X, alebo hodnôt x spadajúcich do intervalov spojitej náhodnej premennej X, Ei – sú príslušné teoretické početnosti, dané vzťahom . Pričom n je rozsah výberového súboru a pi je pravdepodobnosť nastatia hodnoty xi diskrétnej náhodnej premennej s predpokladaným rozdelením resp. pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobúda hodnoty z intervalu spojitej náhodnej premennej , kde je distribučná funkcia predpokladaného teoretického rozdelenia.

Ak charakteristika χ2 , nadobúda hodnoty blízke k nule, naznačuje to platnosť nulovej hypotézy. Jej vysoké hodnoty signalizujú naopak platnosť alternatívnej hypotézy, teda že náhodná premenná X nemá predpokladaný typ rozdelenia.

Nulovú hypotézu H0 príjmeme na hladine významnosti α vtedy, ak vyčíslená hodnota testovacej charakteristiky χ2 neprekročí hodnotu s stupňami voľnosti, teda ak platí: Príklad: Strana 81. APŠ

KOLMOGOROVOV-SMIRNOVOV TEST

Tento test využívame ak náhodný výber x1, x2, ..., xn pochádza zo spojitého rozdelenia, ktoré je špecifikované distribučnou funkciou F(x) a rozsah n výberového súboru nie je postačujúci pre použitie χ2-testu.

Pre test hypotézy H0: náhodná premenná X má rozdelenie s distribučnou funkciou použijeme Kolmogorovov-Smirnovov test, ktorý vychádza z netriedených výberových údajov vzostupne usporiadaných podľa veľkosti . Takto usporiadanému náhodnému výberu zodpovedá výberová distribučná funkcia

Kolmogorovova-Smirnovova testovacia charakteristika je definovaná nasledovne . Ide o maximálnu absolútnu odchýlku výberovej distribučnej funkcie Fn(x) od spojitej distribučnej funkcie F(x), ktorú predpokladá nulová hypotéza. Keďže empirická distribučná funkcia Fn(x) je nespojitá, jej grafickým obrazom je schodovitá krivka s bodmi nespojitosti . Znamená to, že maximálne absolútna odchýlka môže predstavovať buď vzdialenosť krivky F(x) od päty schodu, alebo vzdialenosť tejto krivky od vrcholu schodu. Pri určovaní hodnoty testovacieho kritéria dn skúmame v bodoch absolútne odchýlky a pre pričom . Najväčšiu z týchto odchýlok považujeme za hodnotu testovacieho kritéria dn. Ako kritické hodnoty v tomto teste slúžia kvantily tohto rozdelenia a , ktoré sú uvedené v tabuľkách. Pre môžeme určiť približné kritické hodnoty zo vzťahov

Hypotézu H0, že náhodný výber pochádza z rozdelenia s distribučnou funkciou F(x) príjmeme na hladine významnosti α vtedy, ak vyčíslená hodnota testovecieho kritéria dn neprekročí hodnotu kvantilu rozdelenia štatistiky pre Kolmogorovov-Smirnovov test, teda ak platí: Príklad: Strana 84 APŠ