Referát sa zaoberá základnými typmi zložených rozdelení, konkrétne zloženým Poissonovým, binomickým a negatívne binomickým rozdelením. Popisuje ich charakteristiky, ako sú stredná hodnota a rozptyl, a ich aplikáciu pri skladaní portfólií.
- Zložené Poissonovo rozdelenie a jeho charakteristiky
- Zložené binomické rozdelenie a jeho charakteristiky
- Zložené negatívne binomické rozdelenie a jeho charakteristiky
/p>
5. ekonomika/zakladne-typy-zlozenych-rozdeleni/" class="wiki-link" title="Viac o: základné typy zložených rozdelení">Základné typy zložených rozdelení
Zložené Poissonovo, binomické, negatívne binomické drogy-zlozenie-rozdelenie-ucinky/" class="wiki-link" title="Viac o: rozdelenie">rozdelenie. Výpočet ich základných charakteristík.
ZLOŽENÉ POISSONOVO ROZDELENIE
Nech S je celkové poistné plnenie, pričom N má Poissonovo rozdelenie s parametrom λ N~Po(λ) a je spoločná distribučná funkcia identicky rozdelených individuálnych poistných plnení Xi. Potom náhodná premenná S má zložené Poissonovo rozdelenie s parametrami λ a a takéto rozdelenie budeme označovať CoPo(λ;FX(x)). Jednotlivé charakteristiky tohto rozdelenia majú nasledujúci tvar: Stredná hodnota E(S)
Rozptyl náhodnej premennej D(S)
Podľa vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu celkového poistného plnenia S a vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu Poissonovho rozdelenia dostávame Momentovú vytvárajúcú funkciu MS(z)
Uvedieme ešte užitočnú vlastnosť zloženého Poissonovho rozdelenia pri skladaní portfólií. Nech celkové poistné plnenia sú nezávislé náhodné premenné a nech Si majú zložené Poissonovo rozdelenie s parametrami λi a s distribučnou funkciou výšky poistných plnení Xi, pre , čiže
Potom náhodná premenná má tiež zložené Poissonovo rozdelenie.
s parametrami a distribučnou funkciou výšky poistných plnení vyjadrenej pomocou váženého aritmetického priemeru Momentová vytvárajúca funkcia bude mať tvar
ZLOŽENÉ BINOMICKÉ ROZDELENIE
Ak počet pistných plnení N má binomické rozdelenie Bi(n;), budeme hovoriť, že celkové poistné planie S má zložené binomické rozdelenie s parametrami n, a distribučnou funkciou výšky poistných plnení a takéto rozdelenie budeme označovať CoBi(n; ;FX(x)).
Charakteristiky náhodnej premennej S sú nasledovné:
Stredná hodnota E(S)
Rozptyl náhodnej premennej D(S)
Podľa vťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu celkového poistného plnenia S a vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu binomického rozdelenia platí Momentová vytvárajúca funkcia MS(z)
Podobne ako v predchádzajúcom prípade si uvedieme ešte veľmi užitočnú vlastnosť zloženého binomického rozdelenia pri skladaní portfólií. Nech celkové poistné plnenia sú nezávislé náhodné premenné a nech Si majú zložené binomické rozdelenie s parametrami ni a s distribučnou funkciou výšky poistných plnení Xi, pre , čiže
Potom náhodná premenná má tiež zložené binomické rozdelenie.
s parametrami mn, a distribučnou funkciou výšky poistných plnení vyjadrenej pomocou váženého aritmetického priemeru Momentová vytvárajúca funkcia bude mať tvar
Predpokladali sme, že počet poistiek v jednotlivých portfóliách je takmer rovnaký, ak by to neplatilo, vyjadrenie celkového počtu poistiek mn by sme vyjadrili ako .
ZLOŽENÉ NEGATÍVNE BINOMICKÉ ROZDELENIE
Vzhľadom k tomu, že rozptyl negatívne binomického rozdelenia je väčší ako stredná hodnota, čo často zodpovedá reálnej situácii v poisťovníctve, môže byť rozdelenie NB(k;) pri viacerých typoch poistenia lepším modelom počtu poistných plnení N, ako Poissonovo rozdelenie. Ak počet poistných plnení N má negatívne binomické rozdelenie s parametrami k a , čiže N~NB(k;) a je spoločná distribučná funkcia identicky rozdelených individuálnych poistných plnení Xi, potom náhodná premenná celkové poistné plnenie S má zložené negatívne binomické rozdelenie s parametrami k, a a takéto rozdelenie budeme označovať CoNB(k; ; FX(x)).
Potom charakteristiky náhodnej premennej S sú nasledovné:
Stredná hodnota E(S)
Rozptyl náhodnej premennej D(S)
Podľa vťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu celkového poistného plnenia S a vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu negatívne binomického rozdelenia platí Momentová vytvárajúca funkcia MS(z)
Aj v tomto prípade uvedieme ešte vlastnosť zloženého negatívne binomického rozdelenia pri skladaní portfólií. Analogicky ako v predchádzajúcich prípadoch, nech celkové poistné plnenia sú nezávislé náhodné premenné a nech Si majú zložené negatívne binomické rozdelenie s parametrami ki a s distribučnou funkciou výšky poistných plnení Xi, pre , čiže
Potom náhodná premenná má tiež zložené negatívne binomické rozdelenie.
s parametrami mk, a distribučnou funkciou výšky poistných plnení vyjadrenej ako v predchádzajúcej časti pomocou váženého aritmetického priemeru . Momentová vytvárajúca funkcia bude mať tvar
Predpokladali sme, že parameter k v jednotlivých portfóliách je takmer rovnaký, ak by to neplatilo, vyjadrenie mk by sme vyjadrili ako .
🤔 Najčastejšie otázky k téme
Čo je zložené Poissonovo rozdelenie?
Zložené Poissonovo rozdelenie je rozdelenie, ktoré popisuje celkové poistné plnenie, pričom počet poistných plnení má Poissonovo rozdelenie.
Aké sú hlavné charakteristiky zloženého binomického rozdelenia?
Hlavné charakteristiky zloženého binomického rozdelenia sú stredná hodnota a rozptyl, ktoré sú odvodené z binomického rozdelenia.
Prečo je negatívne binomické rozdelenie lepším modelom v poisťovníctve?
Negatívne binomické rozdelenie má väčší rozptyl ako stredná hodnota, čo častejšie zodpovedá reálnej situácii v poisťovníctve.