/p>
4. Zložené rozdelenia
Definícia a základné charakteristiky kolektívneho rizika. Rozdelenie celkového plnenia S bez špecifikácie rozdelenia počtu poistných plnení.
DEFINÍCIA A ZÁKLADNÉ CHARAKTERISITKY KOLEKTÍVNEHO RIZIKA
Naším cieľom je nájsť rozdelenie pravdepodobnosti a základné charakteristiky náhodnej premennej S. Prvým krokom pri určovaní rozdelenia S je vyjadrenie tejto náhodnej premennej pomocou náhodnej premennej N-počtu poistných plnení počas roka a náhodných premenných Xi-výšky poistného plnenia pri i-tej poistnej udalosti. Pre naše ďalšie úvahy a výpočty súvisiace s výškou celkového poistného plnenia budeme využívať kolektívny model rizika. Ak označíme N – počet poistných plnení za celé portfólio poisťovne v danom období Xi – výšku i-teho poistného plnenia pre , tak Skol – predstavuje celkovú (agregovanú) sumu poistných plnení, tzv. kolektívne riziko poisťovne počas uvažovaného obdobia, zvyčajne jedného roka.
Pričom platí:
• – sú nezávislé a identicky rozdelené náhodné premenné (homogénny poistný kmeň), • náhodné premenné sú vzájomné nazávislé, • ak , tak aj .
Ďalej budeme používať označenie – distribučná funkcia náhodnej premennej S
FX(x) – spoločná distribučná funkcia náhodných premenných Xi
V súvislosti s distribučnými funkciami poznamenajme, že budeme uvažovať ich spojitosť sprava. Väčšinou budeme predpokladať, že náhodná premenná X bude spojitá náhodná premenná a hustotu pravdepodobnosti náhodnej premennej X budeme označovať . V prípade, že náhodná premenná X bude nadobúdať diskrétne hodnoty, na určenie distribučnej funkcie budeme využívať pravdepodobnostnú funkciu s označením . Pre momentové vytvárajúce funkcie náhodných premenných S, N, X budeme používať označenie , , a symbolom budeme označovať k-ty začiatočný moment náhodnej premennej X a analogicky budeme označovať aj momenty náhodných premenných S a N.
ROZDELENIE CELKOVÉHO PLNENIA S BEZ ŠPECIFIKÁCIE ROZDELENIA POČTU POISTNÝCH PLNENÍ Nech S je celkové poistné plnenie alebo kolektívne riziko definované predchádzajúcim vzťahom. Cieľom je nájsť vyjadrenie pre distribučnú funkciu celkového plnenia S a nájsť strednú hodnotu, rozptyl a momentovú vytvárajúcu funkciu rozdelenia S. Najskôr vyjadríme distribučnú funkciu , ako prevdepodobnosť náhodnej udalosti . Vychádzame z toho, že udalosť nastáva vtedy a len vtedy, ak nastane jedna z nasledujúcich náhodných udalostí: čo znamená, že nenastane žiadna poistná udalosť, nastane práve jedna poistná udalosť, ktorej výška nepresiahne hodnotu x, nastanú dve poistné udalosti s celkovou výškou plnenia menšou, nanajvýš rovnajúcou sa x a postupne až nastane n poistných udalostí, ktorých celková suma nepresiahne x. Tieto špecifikované udalosti tvoria system vzájomne sa vylučujúcich (disjunktných) náhodných udalostí, ktorých zjednotenie je práve udalosť , t.j.
a teda pre distribučnú funkciu platí
Pretože v poslednom vyjadrení n značí fixný počet poistných plnení, t. j. fixný počet náhodných premenných , platí , kde je n-násobná konvolúcia distribučných funkcií . Teda platí , , čo predstavuje všeobecné vyjadrenie distribučnej funkcie celkového plnenia S pre ľubovoľné rozdelenie počtu poistných plnení N a výšky poistných plnení X. Ak je n-násobná konvolúcia pravdepodobnostných funkcií výšky poistných plnení X, potom platí , čo predstavuje všeobecné vyjadrenie pravdepodobnostnej funkcie celkového plnenia S pre ľubovolné rozdelenie počtu poistných plnení N a výšky poistných plnení X.
ZÁKLADNÉ CHARAKTERISTIKY CELKOVÉHO POISTNÉHO PLNENIA S
Pri aproximácii distribučnej funkcie rozdelenia S potrebujeme poznať momenty kolektívneho rizika S. Stredná hodnota E(S) – očakávaná škoda (netto poistné) Keďže , potom na základe vlastností podmienenej strednej hodnoty dostávame .
Vzťah vyjadruje, že priemerné celkové poistné plnenie je súčinom priemerného počtu poistných plnení E(N) a priemernej výšky individuálneho poistného plnenia E(X).
Rozptyl náhodnej premennej D(S) Pri odvodení využijeme vzťah pre úplnú disperziu, podľa ktorého . Z predchádzajúceho odvodenia vieme, že a kedže sú vzájomné nazávislé , dostávame teda
Vzťah vyjadruje, že rozptyl celkového poistného plnenia je vyjadrený pomocou stredných hodnôt náhodných premenných X a N, a ich disperzií.
Momentová vytvárajúca funkcia Pri vyjadrení momentovej vytvárajúcej funkcie využijeme vzťahy pre úplnú strednú hodnotu dostávame , následne platí
Dostali sme vyjadrenie momentovej vytvárajúcej funkcie celkového poistného plnenie S pomocou momentových vytvárajúcich funkcií počtu poistných plnení N a výšky poistných plnení Xi . Rozdelenie celkového poistného plnenia S je príkladom zloženého rozdelenia.