/p>

5. Základné typy zložených rozdelení

Zložené Poissonovo, binomické, negatívne binomické rozdelenie. Výpočet ich základných charakteristík.

ZLOŽENÉ POISSONOVO ROZDELENIE

Nech S je celkové poistné plnenie, pričom N má Poissonovo rozdelenie s parametrom λ N~Po(λ) a je spoločná distribučná funkcia identicky rozdelených individuálnych poistných plnení Xi. Potom náhodná premenná S má zložené Poissonovo rozdelenie s parametrami λ a a takéto rozdelenie budeme označovať CoPo(λ;FX(x)). Jednotlivé charakteristiky tohto rozdelenia majú nasledujúci tvar: Stredná hodnota E(S)

Rozptyl náhodnej premennej D(S)

Podľa vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu celkového poistného plnenia S a vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu Poissonovho rozdelenia dostávame Momentovú vytvárajúcú funkciu MS(z)

Uvedieme ešte užitočnú vlastnosť zloženého Poissonovho rozdelenia pri skladaní portfólií. Nech celkové poistné plnenia sú nezávislé náhodné premenné a nech Si majú zložené Poissonovo rozdelenie s parametrami λi a s distribučnou funkciou výšky poistných plnení Xi, pre , čiže

Potom náhodná premenná má tiež zložené Poissonovo rozdelenie.

s parametrami a distribučnou funkciou výšky poistných plnení vyjadrenej pomocou váženého aritmetického priemeru Momentová vytvárajúca funkcia bude mať tvar

ZLOŽENÉ BINOMICKÉ ROZDELENIE

Ak počet pistných plnení N má binomické rozdelenie Bi(n;), budeme hovoriť, že celkové poistné planie S má zložené binomické rozdelenie s parametrami n,  a distribučnou funkciou výšky poistných plnení a takéto rozdelenie budeme označovať CoBi(n; ;FX(x)).

Charakteristiky náhodnej premennej S sú nasledovné:

Stredná hodnota E(S)

Rozptyl náhodnej premennej D(S)

Podľa vťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu celkového poistného plnenia S a vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu binomického rozdelenia platí Momentová vytvárajúca funkcia MS(z)

Podobne ako v predchádzajúcom prípade si uvedieme ešte veľmi užitočnú vlastnosť zloženého binomického rozdelenia pri skladaní portfólií. Nech celkové poistné plnenia sú nezávislé náhodné premenné a nech Si majú zložené binomické rozdelenie s parametrami ni a  s distribučnou funkciou výšky poistných plnení Xi, pre , čiže

Potom náhodná premenná má tiež zložené binomické rozdelenie.

s parametrami mn,  a distribučnou funkciou výšky poistných plnení vyjadrenej pomocou váženého aritmetického priemeru Momentová vytvárajúca funkcia bude mať tvar

Predpokladali sme, že počet poistiek v jednotlivých portfóliách je takmer rovnaký, ak by to neplatilo, vyjadrenie celkového počtu poistiek mn by sme vyjadrili ako .

ZLOŽENÉ NEGATÍVNE BINOMICKÉ ROZDELENIE

Vzhľadom k tomu, že rozptyl negatívne binomického rozdelenia je väčší ako stredná hodnota, čo často zodpovedá reálnej situácii v poisťovníctve, môže byť rozdelenie NB(k;) pri viacerých typoch poistenia lepším modelom počtu poistných plnení N, ako Poissonovo rozdelenie. Ak počet poistných plnení N má negatívne binomické rozdelenie s parametrami k a , čiže N~NB(k;) a je spoločná distribučná funkcia identicky rozdelených individuálnych poistných plnení Xi, potom náhodná premenná celkové poistné plnenie S má zložené negatívne binomické rozdelenie s parametrami k,  a a takéto rozdelenie budeme označovať CoNB(k; ; FX(x)).

Potom charakteristiky náhodnej premennej S sú nasledovné:

Stredná hodnota E(S)

Rozptyl náhodnej premennej D(S)

Podľa vťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu celkového poistného plnenia S a vzťahu pre momentovú vytvárajúcu funkciu negatívne binomického rozdelenia platí Momentová vytvárajúca funkcia MS(z)

Aj v tomto prípade uvedieme ešte vlastnosť zloženého negatívne binomického rozdelenia pri skladaní portfólií. Analogicky ako v predchádzajúcich prípadoch, nech celkové poistné plnenia sú nezávislé náhodné premenné a nech Si majú zložené negatívne binomické rozdelenie s parametrami ki a  s distribučnou funkciou výšky poistných plnení Xi, pre , čiže

Potom náhodná premenná má tiež zložené negatívne binomické rozdelenie.

s parametrami mk,  a distribučnou funkciou výšky poistných plnení vyjadrenej ako v predchádzajúcej časti pomocou váženého aritmetického priemeru . Momentová vytvárajúca funkcia bude mať tvar

Predpokladali sme, že parameter k v jednotlivých portfóliách je takmer rovnaký, ak by to neplatilo, vyjadrenie mk by sme vyjadrili ako .