/p>
11. Princíp Beyesovskej štatistiky
Apriórne a aposteriórne rozdelenia. Beyesovské odhady parametrov niektorých rozdelení. Vzťah bayesovských a maximálne vierohodných odhadov.
PRINCÍP BEYESOVSKEJ TEÓRIE ODHADU
Americká teória kredibility nedáva žiaden návod, ako pri určovaní sadzieb poistného využiť údaje z cudzích, prorovnateľných rizík. Určuje totiž iba počet údajov z vlastného rizika postačujúci na to, aby sme mohli zanedbať údaje z cudzích rizík. Tento nedostatok odstraňuje Beyesovská teória kredibility. Základným rozdielom je: • neznámy odhadovaný parameter považuje za náhodnú premennú, nie za neznámu konštantu • vychádza z 2 informácií: - znalosti apriórneho rozdelenia
- výsledku vlastného výberového zisťovania
APRIÓRNE A APOSTERIÓRNE ROZDELENIA
Pretože podľa predpokladu beyesovskej štatistiky parameter je náhodná premenná, má konkrétne rozdelenie pravdepodobnosti , ktoré voláme apriórne rozdelenie. • toto rozdelnie poskytuje prvú, základnú informáciu o odhadovanom parameteri , ktorá nepochádza z výberového súboru, • ide o rozdelenie, ktoré je známe pred výberovým zisťovaním, • Beyesovský postup odhadu parametra nutne vyžaduje znalosť tohto rozdelenia pred výberovým zisťovaním.
Aposteriórne rozdelenie je rozdelenie neznámeho (odhadovaného) parametra , ktoré využíva okrem znalostí apriórneho rozdelenia aj výsledok vlastného výberového zisťovania . Vo všeobecnosti, ak je náhodný výber z rozdelenia (hustota podmieneného rozdelenia náhodnej premennej X pre dané ), pričom neznámy parameter má apriórne rozdelenie , tak podľa Beyesovskej vety pre aposteriórne rozdelenie platí
pre zjednodušenie vynecháme tzv. marginálnu hustotu (konštantu ) a hustotu aposteriórneho rozdelenia zapíšeme ako , teda ako proporcionálnyc súčin a . Podmienená hustota je funkcia vierohodnosti (vierohodnosť) a teda aposteriórne rozdelenie vierohodnosť apriórne rozdelenie
KONJUGOVANÉ ROZDELENIE
Nech náhodný výber pochádza z pravdepodobnostného rozdelenia typu P s neznámym parametrom . Budeme hovoriť, že typ rozdelenia F je konjugovaný pre typ rozdelenia P, ak apriórne rozadelenie parametra typu F vedie k aposteriórnemu rozdeleniu rovnakého typu F.
Platia nasledujúce vety:
• prípad binomické/beta Ak X je náhodná premenná s binomickým rozdelením s neznámym parametrom , teda s podmienenou funkciou pravdepodobnosti , funkciou vierohodnosti a apriórne rozdelenie parametra je beta rozdelenie s hustotou
potom aposteriórne rozdelenie neznámeho parametra je znovu beta rozdelenie s parametrami , , teda
• prípad Poissonovo/gama Ak X je náhodná premenná s Poissonovým rozdelením s neznámym parametrom , teda s podmienenou funkciou pravdepodobnosti , funkciou vierohodnosti a apriórne rozdelenie parametra je gama rozdelenie s hustotou
potom aposteriórne rozdelenie neznámeho parametra je znovu gama rozdelenie s parametrami , , teda
• prípad normálne/normálne Ak X je náhodná premenná, ktorej rozdelenie závisí od neznámej strednej hodnoty a jej podmienené rozdelenie je rozdelenie normálne , funkciou vierohodnosti a apriórne rozdelenie parametra je tiež normálne rozdelenie s hustotou
potom aj aposteriórne rozdelenie neznámeho parametra je znovu normálne rozdelenie s parametrami a , teda ,
kde pre parametre a platí:
BEYESOVSKÉ ODHADY PARAMETROV NIEKTORÝCH ROZDELENÍ
Odhad parametra pomocou náhodného výberu vzhľadom na aposteriórne rozdelenie budeme nazývať beyesovským odhadom parametra a značiť . V praxi sa obyčajne ako beyesovský odhad neznámeho parametra uvažuje stredná hodnota, medián alebo modus aposteriórneho rozdelenia . Beyesovským odhadom parametra bude taká funkcia náhodného výberu , ktorá minimalizuje očakávanú stratu vzhľadom na aposteriórne rozdelenie.
Existuje niekoľko typov stratových funkcií:
• kvadratická stratová funkcia - je stredná hodnota aposteriórneho rozd. • absolútna stratová funkcia - je medián aposteriórneho rozdelenia • “0/1” stratová funkcia - je modus aposteriórneho rozdelenia Význam stratových funkcií spočíva v tom, že umožňujú získať odhad neznámeho parametra pomocou aposteriórneho rozdelenia. V praxi je najčastejšie stredná hodnota aposteriórneho rozdelenia potom platí: • prípad binomické/beta Beyesovským odhadom parametra binomického rozdelenia je stredná hodnota rozdelenia beta , teda
• prípad Poissonovo/gama Beyesovským odhadom parametra Poissonovho rozdelenia je stredná hodnota rozdelenia gama , teda
• prípad normálne/normálne Beyesovským odhadom parametra normálneho rozdelenia je stredná hodnota normálneho rozdelenia , teda
VZŤAH BEYESOVSKÝCH A MAXIMÁLNE VIEROHODNÝCH ODHADOV
• prípad binomické/beta
kde
- je maximálne vierohodný odhad parametra rozdelenia
- je stredná hodnota apriórneho rozdelenia parametra
• prípad Poissonovo/gama
Beyesovský odhad je teda váženým aritmetickým priemerom maximálne vierohodného odhadu a odhadu z apriórneho rozdelenia v pomere .
• prípad normálne/normálne
Beyesovský odhad parametra normálneho rozdelenia je znovu váženým aritmetickým priemerom maximálne vierohodného odhadu a strednej hodnoty apriórneho rozdelenia v pomere . Váhy odhadov sú teda v pomere recipročných hodnôt svojich rozptylov.