/p>
12. Beyesovská teória kredibility
Pojem vierohodného poistného. Poisson-gama model, normal-normal model.
VIEROHODNÉ (KREDIBILNÉ) POISTNÉ Teória kredibility používa ne výpočet a úpravu poistného pri krátkodobých poistných kontraktoch: • údaje z minulosti z vlstného portfólia • údaje z iných, porovnateľných zdrojov
Vierohodné (kredibilné) poistné sa určuje ako lineárna kombinácia poistného, určeného z vlastného rizika a poistného, určeného na základe informácií z podobných rizík.
Vyjadruje ho vzťah:
často aj ako kde
- je poistné, odhadnuté pomocou údajov z vlastného rizika,
- je poistné, odhadnuté na základe údajov z cudzích, porovnateľných rizík,
Základné vlastnosti vierohodného poistného:
• je lineárnou kombináciou dvoch odhadov poistného, založených na údajoch z vlastného rizika a na údajoch z iných, podobných rizík, • faktor vierohodnosti Z je mierou spoľahnutia sa na údaje o vlastnom riziku, • faktor určuje mieru, akou sa poisťovateľ spolieha na údaje z cudzích rizík, • faktor Z závisí od počtu údajov o vlastonom riziku a s ich rastúcim počtom rastie aj jeho hodnota, • faktor Z nadobúda hodnoty . Ak určujeme poistné len na základe informácií z vlastného rizika, ak určujeme poistné len na základe informácií z cudzích, porovnateľných rizík.
POISSON/GAMA MODEL Cieľ: Odhadnúť počet poistných plnení X v budúcom roku.
Predpoklady:
• počet poistných plnení X má počas roka Poissonovo rozdelenia s neznámym parametrom , t. j. , • neznámy parameter považujeme za náhodnú premennú a apriórne rozdelenie parametra je gama rozdelenie , • poznáme n-ticu údajov o počte poistných plnení v predchádzajúcich n rokoch, • pri odhade parametra chceme využiť jednak apriórnu informáciu o jeho rozdelení a jednak informáciu o počete poistných plnení v predchádzajúcich rokoch.
Aposteriórne rozdelenie parametra je opäť gama rozdelenie, t. j.
a beyesovským odhadom je stredná hodnota tohoto rozdelenia
Ak označíme pre skutočne zistený priemerný počet poistných plnení a pre strednú hodnotu apriórneho rozdelenia gama, dostaneme , čo je kredibilný odhad priemerného počtu poistných plnení s faktorom kredibility resp.
Vlastnosti:
• ak nemáme k dispozícii žiadne údaje o počte poistných plnení, teda , potom . Na odhad parametra môžeme využiť iba strednú hodnotu apriórneho rozdelenia • ak nemáme žiadne informácie o počte poistných plnení z porovnateľných rizík, potom parameter musíme odhadnúť iba na základe údajov z vlastného rizika. Použijeme maximálne vierohodný odhad a pre faktor vierohodnosti platí , • čím väčší je počet n údajov z vlastného rizika, tým viac sa hodnota Z blíži k hodnote 1 a tým je väčšia váha vlastných údajov pri odhade, • čím je vyššia hodnota , tým je menšia variabilita apriórneho rozdelenia, tým nižšia je hodnota faktora kredibility Z a tým sa zvyšuje váha údajov z cudzích rizík.
NORMAL/NORMAL MODEL Cieľ: Odhadnúť hodnotu čistého poistného X (strednú hodnotu celkového poistného plnenia)
Predpoklady:
• hustota rozdelenia pravdepodobnosti X závisí od neznámej hodnoty parametra , • podmienené rozdelenie má normálne rozdelenie, pričom neznámy parameter je strednou hodnotou tohto rozdelenia a rozptyl je známa konštanta, t. j. • neznáma parameter považujeme za náhodnú premennú, ktorá má apriórne rozdelenie parametra normálne rozdelenie , • z minulosti poznáme n-ticu údajov premennej X, • pri odhade parametra chceme využiť jednak apriórnu informáciu o jeho rozdelení a jednak informáciu o počete poistných plnení v predchádzajúcich rokoch.
Aposteriórne rozdelenie parametra je taktiež normálne rozdelenie, t. j.
a beyesovským odhadom je stredná hodnota tohoto aposteriórneho rozdelenia , po jednoduchej úprave dostávame , čo je vyjadrenie čistého kredibilného poistného s faktorom kredibility
Vlastnosti:
• čím väčší je počet n údajov z vlastného rizika, tým viac sa hodnota Z blíži k hodnote 1 a tým je väčšia váha vlastných údajov pri odhade, • čím je vyššia hodnota , tým nižšia je hodnota faktora kredibility Z a tým sa zvyšuje váha údajov z cudzích rizík.