/p>

7. Aproximácia rozdelenia kolektívneho rizika

Aproximácia normálnym rozdelením a posunutým rozdelením gama.

APROXIMÁCIA NORMÁLNYM ROZDELENÍM

Predpokladajme, že všetko, čo vieme alebo môžeme spoľahlivo odhadnúť o kolektívnom riziku S sú základné charakteristiky - stredná hodnota a

  • rozptyl .
Pretože je súčtom nezávislých a identicky rozdelených náhodných premenných, podľa centrálnej limitnej vety sa ponúka normálna aproximácia rozdelenia S. Teda pre ľubovoľné x platí . Čím väčší počet N poistných plnení, tým je aproximácia pomocou distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia lepšia. Pri odvodzovaní koeficienta šikmosti zloženého Poissonovho rozdelenia sme dospeli k záveru, že čím väčšia je hodnota , tým je rozdelenie S symetrickejšie, tým lepšia je aproximácia normálnym rozdelením.

VÝHODY:

• jednoduchosť jej použitia

NEVÝHODY:

• bez ohľadu na hodnoty a je pri normálnej aproximácii , hoci z podmienky, že všetky poistné plnenia sú nezáporné je zrejmé, že v skutočnosti • hustota normálneho rozdelenia je symetrická, teda jej pravý koniec konverguje veľmi rýchlo k nule. Pri mnohých typoch poistenia je však rozdelenie S pravostranne zošikmené, s pomalým klesaním prave strany hustoty k osi x, teda s dosť vysokou pravdepodobnosťou aj extrémnych poistných plnení. Pre takéto typy poistenia má normálna aproximácia tendenciu podhodnocovať hodnoty pre veľké hodnoty x. Príklad: Strana 121 APŠ

APROXIMÁCIA POSUNUTÝM ROZDELENÍM GAMA

Tentokrát predpokladajme, že poznáme, resp. vieme dosť spoľahlivo odhadnúť, prvé tri začiatočné momenty celkového pistného plnenia S, teda nielen a . Môžeme použiť pre aproximáciu rozdelenia S posunuté rozdelenie gama.

Nech symboly , a označujú postupne priemer, rozptyl a keficient šikmosti celkového poistného plnenia, resp. kolektívneho rizika S. Pre posunutú gama aproximáciu predpokladáme, že S má približne rozvnaké rozdelenie pravdepodobnosti ako náhodná premenná , pričom k je konštanta a Y má gama rozdelnie s parametrami  a , teda . Parametre k,  a  určíme za predpokladu, že náhodná premenná má prvé tri momenty zhodné s adekvátnymi momentmi S, ktoré poznáme.

Dostávame systém troch rovníc s troma neznámymi k,  a :

Keďže hodnoty , a podľa predpokladu poznáme, ľahko vyčíslime neznáme parametre:

VÝHODY:

• čiastočne odstránime, resp. znížime podhodnotenie pravdepodobností vysokých poistných plnení v porovnaní s normálnou aproximáciou • táto aproximácia rozdelenia S dáva všeobecne lepšie výsledky ako normálna aproximácia rozdelenia S, pretože gama rozdelenie je pozitívne zošikmené, rovanko ako rozdelenie S v mnohých praktických príkladoch • je jednoduchšie určiť pravdepodobnosť ako pravdepodobnosť Takéto pravdepodobnosti umožňuje vyčísliť väčšina štatistických programov, v jednoduchších prípadoch môžeme použiť odhad pravdepodobností gama rozdelenia pomocou tabuliek - rozdelenia. Platí totiž, že ak a 2 je celé kladné číslo, potom náhodná premenná 2Y má - rozdelenie s 2 stupňami voľnosti. Príklad: Strana 124 APŠ