Hudobná akustika - ladenie Pythagora nezaujímali len trojuholníky Hudba a matematika Ked sa raz Pythagoras prechádzal po trhu, kde trhovníci ponúkali na predaj okrem iného zvonceky, všimol si, že cím je zvoncek väcší, tým nižší zvuk vydáva. Podobnú vec si všimol idúc okolo kovácskej dielne. Menšia nákova vydávala pri úderoch kladiva vyššie tóny a väcšia nákova zas nižšie tóny. V hlave starovekého matematika a fyzika sa zacali crtat prvé myšlienky – vztah medzi hudbou a matematikou. Nelenil ani chvílu. Požical si od kováca dve nákovy, u ktorých si všimol, že ich tóny sú od seba vzdialené o jednu oktávu. Odvážil ich a zistil, že pomer ich hmotností je 2:1. Od iného kováca si požical nákovy, u ktorých boli tóny od seba vzdialené o kvintu. Tu bol pomer hmotností 3:2. Pythagoras si uvedomil, že ak sa pomer hmotností, dlžok alebo hrúbok dvoch predmetov dá vyjadrit malými celými císlami, tóny, ktoré pocujeme, tvoria najkrajšie cisté intervaly : oktávy, kvinty a kvarty. Frekvencia kmitania dvojnásobne tažšieho telesa je dvojnásobne nižšia a takéto teleso vydáva o oktávu nižší zvuk. Podobne je to aj s dlžkou struny. Dvojnásobne dlhšia struna kmitá dvakrát pomalšie a jej tón znie o oktávu nižšie. Jednotlivé tóny sa teda dajú vyjadrit pomerom ich frekvencií. Zhrnme si tieto pomery
do tabulky :
Interval pomer rel. frekvencia oktáva 2:1 2 kvinta 3:2 1,5 kvarta 4:3 1,33 tercia 5:4 1,25 malá tercia 6:5 1,2 Ak napríklad základný tón má frekvenciu 100 Hz (100 kmitov struny za sekundu), kvinta od tohto tónu bude mat frekvenciu 150 Hz (císlo 100 zväcšíme pomerom 3:2), kvarta bude mat frekvenciu 133 Hz (4:3) a tercia 125 Hz (5:4). Pythagorejské ladenie Ladenie, kde sú dodržané tieto pomery, sa nazýva cisté alebo Pythagorejské. Pythagoras si zároven všimol, že ked zahrá 7 oktáv, frekvencia najvyššieho – siedmeho tónu bude velmi blízka tónu, ktorý dostane, ked zahrá 12 kvínt. Je to nieco ako spolocný násobok kvínt a oktáv. Pomer frekvencií medzi primou a siedmou oktávou bude 2na7 : 1, teda 128 : 1. Pomer frekvencií medzi primou a dvanástou kvintou je 1,5na12 : 1, teda 129,746 : 1. Pomery sú také blízke, že bežný clovek by si rozdiel v tónoch ani nevšimol. Podiel císel 129,746 a 128,0 je 1,013643 a nazýva sa Pythagorejská koma. Je to rozdiel medzi relatívnou frekvenciou dvanástej kvinty a siedmej oktávy. Keby sme relatívnu frekvenciu každej kvinty trošticku znížili, relatívna frekvencia dvanástej kvinty by sa presne zhodovala s rel. frekvenciou siedmej oktávy, teda pomer medzi primou a dvanástou takto upravenou kvintou by bol tiež 128 : 1. Vtedy by sa aj každá oktáva dala rozdelit na 12 rovnakých dielov – poltónov a pomer medzi hocakými susednými poltónmi by bol rovnaký. Skúsme teda vykonat túto zmenu. Kedže poltónov je 12 a pomer medzi prvým a posledným poltónom (medzi primou a oktávou) má byt 2 : 1, pomer medzi susednými poltónmi je také K, že K.K.K .. K = Kna12 = 2. Z toho vypocítame, že K je 12. odmocnina z 2, teda 1,059463. Je to zároven pomer frekvencií medzi primou a zníženou sekundou. Tento pomer 1,06 je navyše dost velký na to, aby sme dva poltóny od seba bez problémov sluchovo odlíšili. Temperované ladenie Ladenie, kde pomer medzi poltónmi je rovnaký, sa nazýva temperované rovnomerné ladenie. Pri temperovanom ladení napríklad relatívna frekvencia kvinty, ktorá je vzdialená 7 poltónov od primy, je Kna7 = 1,4983. Vidíme, že oproti cistému ladeniu je táto frekvenia trošku nižšia ako 1,5. Ak sú ale naladené temperovaným ladením všetky nástroje hrajúce súcasne v orchestri, rozdiel vo frekvencii tónov sa neprejaví a skladba znie cisto. Hra na nástroji s temperovaným ladením nedosahuje lahodnost cistého ladenia, pretože tu nie sú úplne presne dodržané Pythagorom objavené pomery, napr. 3:2 pri kvinte. Výhodou je, že oktáva je rovnomerne rozdelená na 12 poltónov, co má ovela väcšie praktické využitie. Rovnomernost je výhodná aj pri umelej syntéze tónov napríklad v elektronických syntetizátoroch a klavíroch, kde jednotlivé tóny generuje laditelný oscilacný obvod. Tabulka relatívnych frekvencií pri cistom a temperovanom ladení interval pomer relat. frek. relat. frek. cisté temperované oktáva 2:1 2.0000 2.0000 kvinta 3:2 1.5000 1.4983 kvarta 4:3 1.3333 1.3348 tercia 5:4 1.2500 1.2599 tercia m. 6:5 1.2000 1.1892 sekunda 9:8 1.1250 1.1225 sekunda m. 16:15 1.0667 1.0595 prima 1:1 1.0000 1.0000 7 oktáv (2:1)na7 128.0000 128.0000 12 kvínt (3:2)na12 129.7463 128.0000 Pythagorejská koma (3:2)12 / 27 1.013643 Mimochodom, ked už poznáme koeficient K=1,059463 ako pomer frekvencií dvoch poltónov a porovnáme ho s Pythagorejskou komou, ktorá má hodnotu 1,013643 , vidíme, že Pythagorejská koma je o dost menšia ako K, teda na dvanástich kvintách v cistom ladení by vznikla odchýlka od siedmych oktáv ovela menšia ako jeden poltón. Preto temperované ladenie príliš velkú chybu nespôsobí. Stupnice Rad 12 poltónov tvorí spektrum oktávy a ak ich zahráme, dostaneme chromatickú stupnicu. V bežnej hudobnej praxi sa v stupniciach nepoužíva všetkých 12 tónov, ale menej, obycajne 8. Podla toho, ktoré tóny do stupnice vyberieme, dostávame rôzne tónotvary a tóniny. Diatonický výber zo spektra oktávy tvorí 8 tónov, z nich je 6 celých a 2 poltóny (napr. v durovej stupnici sú poltóny medzi 3. a 4. tónom a medzi 7. a 8. tónom). Diatonický výber predstavujú na klavíri biele klávesy. Spôsob výberu tónov do tóniny urcuje istý charakter skladby, jej tvrdost ci mäkkost. „Svojskými“ tóninami sa vyznacujú aj urcité národy alebo kraje v rámci jedného štátu. Okrem zaužívaných tónin ako durová, molová, lydická, myxolidická, melodická, dórska, frygická a dalších si môže skladatel zostavit aj vlastnú. Jednoducho vyberie urcitých sedem tónov, ktoré sa budú v skladbe casto používat a tie mu vytvoria novú umelú tóninu. Je možné, že tóny tejto novej tóniny dodajú skladbe zvláštny, neopakovatelný ráz. Vo velkej väcšine prípadov si však skladatelia vystacia so známymi tóninami. Väcšina tónin sa skladá z tónov, ktoré majú poltónové alebo celotónové vzdialenosti. Niektoré tóniny však majú medzi tónmi aj trojpoltónové vzdialenosti. Takáto vzdialenost na nazýva hiát a dodáva tónine zvláštnu „farbu“. Hiáty nájdeme napríklad v tónine harmonickej, moldurovej a cigánskej. Zaujímavostou je, že existujú aj štvrttónové nástroje, napríklad štvrttónový klavír. Tam je vzdialenost medzi tónmi štvrt tóna a oktáva má 24 tónov. Pomer frekvencií medzi susednými tónmi je 24. odmocnina z 2 =1,0293. Výpocet dlžky pražcov na gitare Matematické vztahy a konštanty odvodené v predchádzajúcich kapitolách nám okrem iného môžu poslúžit na to, aby sme vypocítali velkosti pražcov na gitare. Ak bude dlžka pražcov v súlade s teóriou, gitara bude dobre ladit. Ak má volná struna dlžku L a frekvenciu kmitania f, struna stlacená presne v polovici bude mat dlžku volnej casti (tej, ktorá kmitá) L/2, frekvencia kmitania bude 2f a podla zistení Pythagora bude vydávaný tón o oktávu vyšší. Ak strunu stlacíme vo vzdialenosti x od horného konca, kmitat bude len volná cast struny s dlžkou L-x. Struna sa skráti L/(L-x) krát a frekvencia kmitania bude f. L/(L-x) Hz. Pri stlacení n-tého pražca chceme, aby sa tón zvýšil o n poltónov, teda aby pri temperovanom ladení bola frekvencia (K na n)- krát vyššia, co je f .(K na n). f .(K na n) L Z rovnice --------------- = ------------ (1) f L – x (K na n) - 1 dostaneme x = L. ----------------- (2) (K na n) Pre prvý poltón je n = 1, co dosadíme do vzorca (2). Potom x = L. 0,0561 , co je velkost prvého pražca. Keby mala volná struna dlžku 50 cm, velkost prvého pražca by bola 50. 0,0561 = 2.81 cm. Pre druhý poltón je n = 2 a po dosadení do vzorca (2) bude x = L. 0,1091 , co je velkost prvých dvoch pražcov. Velkost prvého pražca už poznáme, takže velkost samotného druhého pražca je L. 0,1091 - L. 0,0561 = L. 0.053. Pre 50 cm strunu je to 2.65 cm. Takto postupne môžeme vypocítat velkost všetkých pražcov gitary pri temperovanom ladení.